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Géométrie
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Exercices

1/ Un repère permet de déterminer les coordonnées d'un point ou d'un segment.

Comprendre

repère coordonnées et point

Pour représenter des points dans un plan on aura besoin de définir un repère qui servira de référence.Il sera composé d'une origine habituellement noté O. Le plus utilisé est le repère cartésien qui est composé de deux vecteurs qu'on pourra additionner pour arriver jusqu'au point considéré.

Ces deux vecteurs, souvent noté i et j, sont souvent perpendiculaires l'un à l'autre, représentant par exemple l'horizontale et la verticale. Quand on représente ces deux vecteurs orthogonaux(perpendiculaires) et de même taille (même norme), ce repère sera appelé orthonormé (ortho signifiant [angle] droit,comme dans orthogonal).

Si on désire donner les coordonnées d'un point, on note son nom suivi de ses coordonnées entre parenthèses, par exemple R(3;-2). On commencera toujours par l'axe horizontale (abscisses) puis l'axe vertical (ordonnées).
Si on veut représenter des points dans l'espace, c'est-à-dire dans un espace en 3 dimensions, on constituera un repère avec trois vecteurs ( i, jet k). Les lettre en gras représentant des vecteurs.

Appliquer

coordonées repere non orthogonal

Il arrive que le repère ne soient pas orthogonal mais on utilise très rarement ce genre de repère.

Analyse

Pour calculer la longueur d'un segment , on utilise la fomule AB= racine( (xB-xA)² + (yB-yA)² )

1/ Exercices

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1/ Ce qui se donne sans se perdre 
(12 mn)
Abscisses6,71,901,96,711,313,111,36,7
Ordonnées0-1,9-6,7-10,9-13-10,90-6,7-1,90
Abscisses1,83,35,5810,111,1
Ordonnées-6,9-9,2-10,9-10,8-9,1-7,4

Trace un repère orthonormé et place les deux séries de points dans les tableaux en les reliant à la fin de chaque série.

Et oui, cela fait un smiley dont il manque les yeux

Donne les abscisses et les ordonnées des deux points manquants.

4,8 ; 3,6 et 8,2 ; 3,6 font les yeux du smiley

2/ Propriétés des figures géométriques simples en 2D

Comprendre

quadrilatère
Quadrilatère

Un quadrilatère a quatre côtés.Un parallélogramme, en géométrie, est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.

Un parallélogramme a plusieurs propriétés:
ses côtés opposés sont parallèles deux à deux.
il a un centre de symétrie: le point d'intersection de ses diagonales ;
ses diagonales ont le même milieu ;
ses côtés opposés ont la même longueur ;

Un rectangle est un quadrilatère qui a trois angles droits.
Le carré a 4 cotés qui ont tous la même longueur et ses 4 angles la même mesure (90°).Ses diagonales sont perpendiculaires entre elles.

Cercle
différentes parties d'un cercle

Tous les points d'un cercle sont à une distance d'un rayon du centre. Le diamètre d'un cercle est égale à deux rayons.
La surface délimitée par un cercle de rayon r est appelée disque et se calcule grâce à la formule S disque=pr²

Triangle
somme des angles d'un triangleaire et surface d'un triangle

La somme des angles d'un triangle est égale à 180°.
Le segment qui joint les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté.

Un triangle isocèle est un triangle ayant au moins deux côtés de même longueur. Les deux angles à la base sont alors de même mesure. Réciproquement, tout triangle ayant deux angles de même mesure est isocèle.
Il a donc un axe de symétrie

Un triangle équilatéral est un triangle dont les trois côtés ont la même longueur. Ses trois angles ont alors la même mesure qui vaut donc 60° et il admet trois axes de symétrie.

Un triangle rectangle est un triangle ayant un angle droit (90°).

L'aire(la surface) d'un triangle se calcule grâce à la formule A = 0,5 x base x hauteur

Appliquer

Cercle corde médiatrice et centre

La médiatrice d'un segment le coupe perpendiculairement en son milieu.L'intersection des médiatrices des cordes permet de trouver le centre d'un cercle.

rectangle inscrit cercle

Prenons trois points du cercle A, B et C, dont deux A et C sont diamétralement opposés (c'est-à-dire que le segment AC passe par le centre). Alors,ABC est un triangle rectangle en B.Le côté le plus long dans un triangle rectangle, c’est-à-dire le côté opposé à l'angle le plus grand (l'angle droit), s'appelle l'hypoténuse.

triangle, médianes et centre de gravité

La médiane est un segment qui relie un sommet au milieu du côté opposé. L'intersection des trois médianes détermine le centre de gravité du triangle.

triangle cercle inscrit et bissectrice

Une bissectrice est une droite qui partage un angle en deux angles de même mesure. L'intersection des trois bissectrices d'un triangle définit le centre du cercle inscrit.

2/ Exercices

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2/ ChaussĂ©e de moinesImage 
(5 mn)
monastère carré cercle jardin

Pour construire des cloîtres carrés aux dimensions harmonieuses dans les abbayes, les architectes du Moyen-Âge utilisaient la technique suivante :
Ils traçaient d’abord un cercle, puis un premier carré inscrit dans ce cercle pour délimiter le jardin intérieur.
Ils traçaient ensuite un deuxième carré dont les côtés sont tangents au cercle et parallèles à ceux du premier carré.
La galerie est alors l’espace délimité par les deux carrés. Représenter par une figure le tracé du cloître.

Comparer lÂ’aire du jardin et lÂ’aire de la galerie.

Posons que le carrĂ© inscrit a une longueur c. D'après le thĂ©orème de Pythagore, sa diagonale a une longueur de c√2 (car c² + c² =diagonale² donc 2c² =diagonale²).
La demi-diagonale Ă©tant le rayon du cercle, le rayon vaut c√2/2.
On peut voir que ce rayon est la moitiĂ© du cĂ´tĂ© du grand carrĂ©, qui a donc un cĂ´tĂ© de longueur c√2 et une aire de (c√2) ² = 2c
L'aire du grand carré fait deux fois celle du petit, la gallerie et le jardin ont donc une aire égale.

Analyse

2/ ZelligesImageMatĂ©riel et protocole 
(13 mn)
palais arabe Ă©toile
une feuille de papier
une paire de ciseau
une règle graduée
un crayon

Au Maroc, alors que je visitais un palais somptueux, mon guide mÂ’expliqua quÂ’il est facile dÂ’obtenir la forme de cette mosaĂŻque.
Prends une feuille de papier carrée de centre O.
Plie-la en quatre suivant ses diagonales, puis encore en deux pour obtenir un triangle rectangle en A.
Place un point B sur son hypoténuse tel que OA = OB
Trace deux segments qui se croisent pour faire apparaître deux triangles rectangles isocèles d’hypoténuses [OA] et [OB].
Coupe alors un des trapèzes que tu vois.
DĂ©plie le reste, et voilĂ  !

Colle la forme obtenue sur la feuille-réponse et explique pourquoi on obtient des angles droits.

Les triangles lors du pliage étant isocèle, on a un angle de 45° en O. Comme on forme deux nouveaux triangles rectangles, les angles de ces triangles ont pour valeur 180 - 90 - 45 = 45°
Ces angles sont ensuite dépliés en 2, ce qui donne des angles droits (2 x 45° = 90°)

3/ Représentation de fonctions,équation de droites

Comprendre

Une variable est une grandeur qui peut changer.Une fonction est le résultat d'opérations sur une variable. Imaginons qu'on veuille mesurer la taille d'une plante au cours d'un mois. La valeur qui change est le temps qui passe et la fonction croissance est l'opération qui donne sa taille actuelle à la plante. Si on connait la fonction croissance (exemple, croissance de 7cm/ semaine) on pourra déterminer quelle est la taille de la plante à n'importe quel moment.

On notera une fonction f(x) ,x étant la variable qui change dans le temps. Dans notre exemple, si x est en semaine et le résultat de la fonction en cm, f(x) = 7x. D'habitude, sur une représentation graphique où x est représenté sur l'axe horizontal, on représentera l'image de la fonction sur y, qui représente l'axe vertical. On pourra donc écrire y = f(x) et dire que y est l'image de x par la fonction f.

Fonctions habituelles
Visualiser les fonctions habituelles

La fonction la plus simple est f(x) = b, oĂą b est un nombre C'est la fonction constante. Si b=4, on aura y=4 quelque soit x.

Une fonction simple est f(x) = x. C'est la fonction identité, celle qui ne change rien, on aura donc y=x

Une fonction linéaire est constitué de la multiplication de la variable x par un nombre. L'exemple de la plante ci-dessus est un fonction linéaire. Quand x=0, la fonction est nulle également, la droite représentant la fonction passe donc par l'origine. Le nombre par lequel on multiplie x est appelé coefficient directeur et est noté a.

Une fonction affine est équivalente à une fonction linéaire à laquelle on additionne un nombre constant, par exemple: 8x+4 ou -4x + 6 ou encore 2x-1 sont des fonctions affines. Ces fonctions sont de la forme ax + b ou a et b sont des nombres.

La fonction carré est comme son nom l'indique f(x) = x²

La fonction inverse : f(x) = 1/x

Appliquer

Représenter une courbe à la main

Pour représenter une courbe manuellement, on calcule et représente au moins deux valeurs de y qu'on relie à la règle si c'est une droite et à la main si c'est une courbe (dans ce cas, il faudra représenter plus de points).

Antécédent d'un point

Pour connaître l'antécédent d'un point, c'est à dire si on a la valeur de y et qu'on veut connaître x, on a deux solutions :
soit la fonction est tracée et on peut regarder à quelle valeur de x correspond la valeur de y donnée
soit on utilise l'équation pour déterminer à quel x correspond le y donné. Par exemple, si on demande l'antécédent de 5 ( y=5) par la fonction f(x) =7x cela nous donne 5= y = f(x) =7x donc x= 5/7

fonction affine bMathenpoche
DĂ©terminer l'Ă©quation d'une droite inconnue

Si c'est une droite, c'est forcément une fonction affine donc elle est de la forme y = ax + b.

Pour commencer, on déterminera b,si x=0, y =a.0 + b = b donc on commence par regarder la valeur que prend y quand x=0, c'est à dire à l'origine. Cette valeur correspond à b, ci-contre on voit que b=1. Pour la valeur de a, on prend une autre point de la droite et on pose l'équation de la droite en remplaçant y et x par leurs valeurs respectives. Dans l'exemple, on pourrait choisir le point d'abscisses 1 et d'ordonnées 3 donc x=1 et y=3 .
L'équation nous donne donc : 3 = 1a + 1 donc 2 = a


On remarquera que dans une fonction linéaire, si le coefficient directeur est positif, la droite sera croissante. Si le coefficient directeur est négatif, la droite sera décroissante.

4/ Une figure est symétrique lorsqu'elle répète une même forme de façon régulière.

Comprendre

papillon symtrique vanesse

Un système est symétrique quand on peut permuter ses éléments en laissant sa forme inchangée. Un papillon, par exemple, est symétrique parce qu'on peut permuter tous les points de la moitié gauche de son corps avec tous les points de la moitié droite sans que son apparence soit modifiée. On peut permuter par rapport à une droite (symétrie axiale) ou par rapport à un point.

5/ Propriétés des figures géométriques simples en géométrie 3D, leurs aires et volumes.

Comprendre

Parallélépipède
parallélépipèdecube rotation
Ca C de l'image!

En géométrie dans l'espace, un parallélépipède est un solide dont les six faces sont des parallélogrammes. Il est au parallélogramme ce que le cube est au carré et le pavé est au rectangle. Le volume d'un parallélépipède se calcule en multipliant sa longueur par sa largeur et par sa hauteur.

CĂ´ne et pyramide
cones

Une pyramide à n côtés est un polyèdre formé en reliant une base polygonale de n côtés à un point, appelé l'apex, par n faces triangulaires (n = 3).La pyramide peut être à base carrée, triangulaire,hexagonale...
Un cône est une surface réglée définie par une droite, appelée génératrice, passant par un point fixe appelé sommet et un point variable décrivant une courbe plane fermée(la base).
Le volume d'un cĂ´ne ou d'une pyramide se calcule par 1/3 x aire de la base x hauteur

Sphère

L'aire d'une sphère de rayon r est : A = 4p r²
Le volume de la boule qu'elle renferme est : V = 4/3.p.r3

5/ Exercices

Comprendre

5/ SiloImage 
(8 mn)
silo : pyramide et pavé volume

La figure ci-contre représente une vue en perspective d’un silo de stockage. Il est composé de deux parties :
- la partie supérieure est un parallélépipède rectangle de volume V1
- la partie inférieure est un tronc de pyramide de volume V2.

Calculer, en m3:
le volume V1 de la partie supérieure du silo de stockage.

V = 1,8 x 1,5 x 2,2 = 5,94 m3

Sachant que le volume total Vt du silo est de 7,5 m3,calculer le volume de granulés V2 contenu dans la partie inférieure du silo.

V2 = Vt - V1 = 7,5 - 5,94 = 1,56 m3

Appliquer

5/ Une cuisine bien aĂ©rĂ©eImage 
(10 mn)
plan cuisine aire

Pour recycler l’air d’une cuisine, un particulier fait installer une hotte d’aspiration. On a le plan de sa cuisine, avec les côtes en mètres.

Calculer l’aire de la cuisine (préciser l’unité).

On peut considérer que la cuisine est composé d'un rectangle(5 x 3) et d'un carré (2 x 2). Donc A = 5 x 3 + 2 x 2 = 19 m²

Calculer le volume de la cuisine si sa hauteur est de 2,5 m (préciser l’unité).

A = 19 x 2,5 = 47,5 m3

On admet que le volume de la cuisine est 47,5 m3. La hotte d’aspiration doit renouveler 12 fois le volume de la pièce en une heure.
Calculer le débit de la hotte en m3/h.

En une heure, la hotte doit donc aspirer 12 x 47,5m3 = 570 donc débit = 570m3/h

Pour un débit d’air de 9,5 m3/min, calculer le temps nécessaire en minute pour recycler un volume d’air de 47,5 m3.

Il faut X minutes pour renouveler l'air de la cuisine. Posons 9,5m3/min x X min = 47,5 m3 => X = 47,5/9,5 = 5min

6/ Théorème de Pythagore et de Thalès

Comprendre

théorème de Thalès
Théorème de Thalès

AD AB = AE AC = DEBC

Une droite parallèle à un des côtés du triangle coupe ce triangle en un triangle semblable. Il y a donc proportionnalité entre les deux triangles.

Théorème de Pythagore
Théorème de Thalès

Le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Ce théorème sert à calculer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle lorsqu'on connait les deux autres.

Appliquer

phytagore et ses aires de carré

Croix du bucheron :thales

6/ Exercices

Comprendre

6/ Triangle de l'art 
(3 mn)

Trace un triangle ART rectangle en A.Marquer I, pied de la hauteur relative à l'hypoténuse.

Écrire la relation de Pythagore dans chacun des triangles TIA, AIR et RAT.

Triangle TIA: TA² = IA² + TI²
Triangle AIR: AR² = RI² + IA²
Triangle RAT: RT² = RA² + AT²

Appliquer

6/ Joyeux rectangle 
(6 mn)

Calcule la longueur des diagonales d'un rectangle JOIE de longueur 13 cm et de largeur 8 cm.

Soit d la longueur d'une des diagonales:
d² = 13²+8²
d² = 169+64
d² = 233
d = √233 cm
d = 15,26 cm

6/ Triangle inscrit 
(10 mn)

Construis un triangle NEM rectangle en N, inscrit dans un cercle de 5 cm de rayon et tel que NE = 35 mm.

Le triangle sera rectangle à partir du moment où EM sera le diamètre du cercle. Il suffit ensuite de prendre NE = 35mm et de le placer grâce à un compas.

Calcule l'aire et le périmètre de ce triangle.

Pour calculer l'aire du triangle, il nous faut connaître la mesure de la base et de la hauteur ( A = b x h/2 )
Considérons NE comme la base, il nous reste à calculer NM, ce qui peut se faire grâce au théorème de Pythagore car on sait que ME² = NM² + NE².
NM² = ME² - NE² => NM = √(ME² - NE²) = √(100² - 35²)= 93,7 mm
L'aire du triangle est donc de 93,7 x 35 = 1639 mm² = 16,39 cm²
Périmètre = 9,37 cm + 3,5 cm + 10 cm = 22,87 cm

Calcule l'aire du disque

A = πr² = π x 5²= 78,5 cm²

6/ Triangle d'occasion 
(9 mn)

Construire en vraie grandeur un triangle ABC tel que : AB = 7 cm ; BC = 8 cm et AC = 5 cm. 2. Le triangle ABC est-il rectangle ? Justifier.

BC² = AB² + AC² or 8² différent de 7² + 5² Donc le triangle ABC n' est pas rectangle.

Le célèbre mathématicien Al-Kashi (XIV- XVème siècle) a trouvé une formule entre les trois côtés d’un triangle et le cosinus de l’un des trois angles de ce triangle : « Dans un triangle on a : BC² = AB² +AC² - 2AB x AC xcos(angleBAC)

En utilisant la formule d’Al-Kashi, trouver la mesure arrondie au degré près de l’angle.

Calcul de l'angle: appliquons la formule
8² = 7² + 5² - 2 x 5 x 7 x cos(angle)
64 = 49 + 25 - 70 cos(angle)
64 - 49 - 25 = -70 cos(angle)
-10 =-70 cos (angle)
soit cos (angle) =1/7 et angle = cos-1(1/7)
A l'aide de la calculatrice on trouve : BAC=81,79

6/ La croix du bĂ»cheronImage 
(10 mn)
application thèorème de Thalès arbre

Pour évaluer la hauteur d’un arbre, le bûcheron utilise une croix (un des bout de bois est lié à son centre à l'autre) .Il se place à la bonne distance de l’arbre pour viser dans sa croix le sommet et le pied de l’arbre.

Calcule la hauteur du sapin si le bûcheron est à 25 m de l’arbre.

Le bûcheron est à 25 m de l’arbre=> PH = OM = 25m
Appelons C le milieu de A et de B. On peut appliquer le thèorème de Thalès aux triangles OCB et OMP: OC/OM = OB/OP = CB/MP
On oublie les hypothénuses parce qu'on ne connaît pas leur longueurs et qu'elles ne nous interessent pas=> OC/OM = CB/MP =>20cm/25m = 10cm/MP
On isole la longueur qu'on cherche à calculer MP=10cm x 25m/20cm et on passe tout dans la même unité. MP= 0,1 x 25/0,2=12,5m
Comme MP=MS =>SP=2MP le sapin mesure deux fois la hauteur MP .
2MP = 25m Moralité: la croix du bûcheron nous permet de déterminer la taille d'un arbre en mesurant simplement la distance à laquelle on se trouve de lui

7/ Trigonométrie: cosinus, sinus et tangeante

Comprendre

Triangle trigonométrie

La trigonométrie (du grec trígonos, « triangulaire », et métron, « mesure ») est une branche des mathématiques qui traite des relations entre distances et angles dans les triangles , Ces relations utilisent des fonctions trigonométriques telles que sinus, cosinus et tangente.

cos B = côté ajacent/hypoténuse =a/c
sin B = côté opposé/hypoténuse = b/c
tan B =sin A/cos A = côté opposé/côté adjacent = a/b


La valeur du cosinus et du sinus est toujours comprise entre 1 et -1.
Si on trace la fonction sinus ou cosinus, elles auront une forme caractéristique appelées sinusoïdes.

Appliquer

Mathenpoche

Si on connait le sinus d'un angle et qu'on veut déterminer la valeur de cet angle, on passera par la fonction arcsinus (parfois noté asin ou sin-1).

Arcsin( sin(A) ) = A

De mĂŞme, il existe la fonction Arccosinus et la fonction Arctangeante.

7/ Exercices

Comprendre

7/ PavĂ© bien droitImage 
(3 mn)
pave droit lettré

Dans le pavé droit ci-dessus, on donne EH=69cm, EF=60cm et EA=51cm.

Quelle est la mesure de l'angle AED?

tan AED = 69/51 => AED = tan-1(69/51) = 54°

8/ Les vecteurs: positions et opérations simples

Comprendre

vecteurs dans un repère

Les vecteurs sont représentés par des flèches. Ils peuvent représenter des déplacements ou d'autres grandeurs physiques.Ils sont caractérisés par :
un point d'origine ,
une longueur qu'on appellera norme,
une direction
un sens

La direction est une droite (par exemple verticale, ou une droite reliant Paris Ă  Toulouse...) et le sens indique dans quel sens on parcourt cette droite (vers le bas, vers Toulouse...)
On représentera ici les vecteurs en gras pour des raisons pratiques. Sur le papier la notation avec des flèches est plus courante.

Relation de Chasles
addition de vecteurs

La relation de Chasles indique que chaque vecteur peut ĂŞtre l'addition de deux autres vecteurs. Par exemple, AC= AB + BC produit scalaire produit scalaire

Produit scalaire
OA . OB = OA x OB x cos(AOB)
L'ordre a une importance capitale. En effet, OA . OB n'est pas égal à OB . OA . Graphiquement, on peut faire une projection du deuxième vecteur sur le premier pour trouver le produit scalaire.
Le produit scalaire donne un nombre et non un vecteur.

Appliquer

Produit vectoriel
Mathenpoche

Se note OA ^ OB , il donne un vecteur comme solution.